Skalarwertige Funktionen mit mehreren Variablen

• Eine Funktion mit  $$ unabhängigen Variablen  $1, …, x) und einer abhängigen Variablen  $$ versteht man eine Vorschrift, die jedem geordneten Zahlentupel ( $1, x_2, …, x)) aus einer Definitionsmenge  $ \in \mathbb{R}^) genau ein Element  $$ aus einer Wertemenge  $mathbb{W} \in \mathbb{R}$ zuordnet. Symbolische Schreibweise:

$$ f: \mathbb{D} \in \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{W} \mathbb{R} (x_1,x_2,…,x_n) \mapsto y = f(x_1, x_2, …, x_n) $$

• Da das Ergebnis  $ \in \mathbb{R}$ ein Skalar (eine Zahl) ist, redet man von einer skalarwertigen Funktion.

Partielle Ableitung

$$ z = f(x,y) = x^5 + x^7 $$

Beispiel

Gegen ist die folgende Funktion:  $(x,y) = x^5 + y^). Soll diese nach x abgeleitet werden, dann entsteht nachstehendes. Da y als Zahl angesehen wird, fällt dieses weg. $$ \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial x }

5x^4 $$

Definition

Für eine Funktion  $: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit einer Variablen ist die Ableitung an der Stelle  $) bekanntlich definiert als: $$ f’(x_0) = \lim\limits{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) }{ \Delta x } $$ Aus geometrischer Sicht entspricht dies der Steigung  $ = f‘(x_0)$ der im Punkt $(x_0, f(x_0))$ angelegten Kurventangente $$ t(x) = f(x_0) + f‘(x_0)(x- x_0) $$

Python

from sympy import symbols, diff

# Variablen in Funktion definieren
x, y = symbols('x y', real=True)

# Funktion definieren
f = x**5 + x**7

print(diff(f, x))

An einer Stelle

$$ \frac{\partial f}{\partial x} (x, y)

x^2 - x\cdot y^2 + \frac{1}{2} \cdot y^3 + 10 $$

from sympy import symbols, diff

# Variablen in Funktion definieren
x, y = symbols('x y', real=True)

# Funktion definieren
f = x**2 -x * y**2 + 1/2. * y**3 + 10

# Partielle ableitungen berechnen
df_x = diff(f, x)
df_y = diff(f, y)

# An einer Stelle (-1, 1)
print ("Partielle Ableitung nach x:", df_x)
print ("Partielle Ableitung nach y:", df_y)

x0 = -1
y0 = 1
df_x_eval = df_x.subs([
    (x, x0),
    (y, y0)
])
    
df_y_eval = df_y.subs([
   (x, x0),
   (y, y0)
])

print(f"An Stelle x={x0}, y={y0} = ({df_x_eval}, {df_y_eval})")